La selección natural bajo el modelo básico de un gen (locus) bialélico con un alelo deletéreo tenderá a disminuir la frecuencia del mismo. Por tanto, la varianza σ² de la frecuencia alélica disminuirá. Esto se puede medir calculando la varianza de la frecuencia alélica para un conjunto de poblaciones o réplicas (Figura 3). El efecto es claro si el censo de la población, N, es grande (el censo efectivo N_e, aunque sea menor que N debido a la selección, seguirá siendo relativamente grande). Al contrario, si el censo de la población es pequeño el efecto determinista de la selección será superado por la aleatoriedad generada por la deriva, de manera que la frecuencia del alelo deletéreo dependerá más del azar. Por ejemplo, con 20 poblaciones y 100 generaciones podemos apreciar en la Figura 3 la comparación del efecto de la selección entre el caso N = 10 y N=1000 para un coeficiente de selección s = 0.1 y de dominancia h=0.5.

N = 10

N = 1000

Visualmente se aprecia claramente la varianza entre líneas muy superior para el caso N=10. Los valores de frecuencia media y varianza fueron 0.35 y 0.23 con N=10, mientras que fueron 0.004 y 0 con N=1000. En el primer caso, la fuerte componente aleatoria de la deriva dificulta el efecto de la selección. En el segundo caso, con N=1000, el efecto de la deriva es despreciable respecto a la fuerza de la selección.

 

En la Figura 4 se muestran las ecuaciones básicas que gobiernan el efecto de la selección sobre la frecuencia alélica para el caso de un locus bialélico, uno de cuyos alelos es deletéreo, con coeficiente de selección s y dominancia h. La frecuencia en la siguiente generación, q', depende de las frecuencias antes de la selección, p y q, y de los coeficientes de selección y dominancia, además se normaliza (para que las nuevas frecuencias p' y q' sumen 1) por la eficacia poblacional media W. El cambio en frecuencia Δq es simplemente la diferencia entre la nueva y la antigua frecuencia. Los cambios de p y q son iguales con signo opuesto porque el número total de alelos es constante ya que N es constante.

En general, en ausencia de deriva genética (N grande), con apareamiento al azar y sin mutación ni migración, las ecuaciones de la Figura 4 permiten predecir la evolución de la frecuencia para cualquier número de generaciones t. Siendo s>0 y al no haber mutación ni migración que puedan reponer el alelo deletéreo, este se extinguirá antes o después independientemente del valor del coeficiente de dominancia. Pero el tiempo que el alelo deletéreo tarda en ser eliminado sí que depende del coeficiente de dominancia. En la Tabla 1 se muestran las ecuaciones de cambio de frecuencia de un alelo letal (s=1) tras t generaciones según sea el alelo dominante, aditivo o recesivo.

Tabla 1. Ecuaciones de cambio de frecuencia para un alelo letal

s	h	qt	Δq
1	1	0 (t>0)	-q
1	0.5	q0/2t	-q/2
1	0	q0 /(1+tq0)	-q/(1+q)

Obviamente, si el alelo es letal y dominante (h=1), este desaparecerá en una sola generación (todos sus portadores mueren). Si la relación es aditiva (h=0.5) y la frecuencia inicial es 0.5 esperamos que, por ejemplo, tras 5 generaciones su frecuencia sea aproximadamente 0.016 (reducción del 97%), pero si es recesivo (h=0), tras 5 generaciones la frecuencia todavía será de 0.14 (reducción del 72%). Esto pone de manifiesto el porqué los alelos fuertemente deletéreos que se pueden observar en las poblaciones son recesivos, pues de no ser así desaparecen muy rápidamente (Figura 5).

h = 0.5

h = 0

 

Sobredominancia

Un caso especial en las relaciones de dominancia es la sobredominancia, que implica que el heterocigoto tiene mayor eficacia que los dos homocigotos. El modelo clásico define la eficacia de los homocigotos como W_AA = 1 -s₁ y W_aa = 1 -s₂, siendo la eficacia del heterocigoto W_Aa = 1, bajo este modelo la frecuencia de equilibrio es

 

   q_eq= s₁ / (s₁+s₂).

 

El simulador 1LocusSim no permite introducir dos coeficientes de selección pero esto no es un problema porque el modelo clásico puede también describirse mediante los parámetros s y h definidos con valores tales que provoquen que el heterocigoto tenga mayor eficacia. Distinguimos dos modelos según sean s>0 y h<0 o s<0 y h>1 . Ambos modelos se muestran en las tablas 2 y 3.

Tabla 2. Obtención de un modelo de sobredominancia con s>0 y h<0 (W_Aa>W_AA>W_aa)

WAA	WAa	Waa
1	1-sh	1-s
1	1+s|h|	1-s
1/(1+s|h|)	1	(1-s)/(1+s|h|)
1-s1	1	1 -s2
s1 =s|h|/(1+s|h|)		s2 =s(|h|+1)/(1+s|h|)
		qeq =|h|/(2|h|+1)

Tabla 3. Obtención de un modelo de sobredominancia con s<0 y h>1 (W_Aa>W_aa>W_AA)

WAA	WAa	Waa
1	1-sh	1-s
1	1+|s|h	1+|s|
1/(1+|s|h)	1	(1+|s|)/(1+|s|h)
1 -s1	1	1 -s2
s1 =|s|h/(1+|s|h)		s2 =|s|(h-1)/(1+|s|h)
		qeq =h/(2h-1)

Es interesante apreciar que bajo ambos modelos, el valor de la frecuencia de equilibrio no depende del coeficiente de selección s si no del valor absoluto de h. Esto es un resultado matemático no tan intuitivo y es perfecto para comprobarlo mediante el simulador. Definiremos un escenario sin deriva esto es, una población con N grande por ejemplo N=10⁴ durante 10⁴ generaciones. La frecuencia inicial es 0.5. En la Tabla 4 podemos comparar el valor de equilibrio esperado con el observado bajo ambos modelos y con diferentes coeficientes de selección y dominancia. Cada simulación se ejecuta un par de veces.

Tabla 4. Sobredominancia: comparación de valores de equilibrio esperados y observados

Modelo	s	h	qeq	qobs
s>0 h<0	0.1	-0.01	0.0098	0.0
s>0 h<0	0.5	-0.01	0.0098	0.0
s>0 h<0	1	-0.01	0.0098	0.0
s>0 h<0	0.1	-0.1	0.083	0.078-0.105
s>0 h<0	0.5	-0.1	0.083	0.075-0.076
s>0 h<0	1	-0.1	0.083	0.075-0.090
s>0 h<0	0.1	-0.5	0.25	0.25-0.27
s>0 h<0	0.5	-0.5	0.25	0.25-0.26
s>0 h<0	1	-0.5	0.25	0.25-0.25
s>0 h<0	0.1	-100	0.4975	0.4920-0.4930
s>0 h<0	0.5	-100	0.4975	0.4950-0.5010
s>0 h<0	1	-100	0.4975	0.4940-0.4960
s<0 h>1	-0.1	1.05	0.955	0.977-0.954
s<0 h>1	-1	1.05	0.955	0.957-0.946
s<0 h>1	-0.1	1.25	0.83	0.83-0.83
s<0 h>1	-1	1.25	0.83	0.83-0.84
s<0 h>1	-0.1	100	0.5025	0.5020-0.5030
s<0 h>1	-1	100	0.5025	0.4970-0.5010

Podemos observar que las predicciones de equilibrio funcionan muy bien. La única excepción es el caso con h=-0.01 que necesitará un valor de N mayor para lograr el equilibrio. En la Tabla se aprecia claramente que los valores de frecuencia alélica tras 10⁴ generaciones dependen de h y no de s tal y como indican los valores de equilibrio calculados en las Tablas 2 y 3.

 

En la Figura 6 vemos una de las comparaciones mostradas en la Tabla 4, h=-0.5, con valor esperado q_eq=0.25. El equilibrio observado es el mismo, pero la varianza entre generaciones es menor con menor deriva genética (mayor valor Ns) como es de esperar.

A     s=0.1, h=-0.5

B     s=1, h=-0.5

Ejercicios

Utiliza las fórmulas de la Figura 4 y Tabla 1 para resolver los siguiente ejercicios.

 

Ejercicio 1

En una población en que la deriva es despreciable y en ausencia de mutación ¿cuántas generaciones hacen falta para que un alelo letal con aditividad reduzca su frecuencia a la mitad? ¿Y para que se reduzca en 1/16?

 

Por ser letal el coeficiente de selección es s=1 y la aditividad implica h=0.5. Por la Tabla 1 sabemos que q_t=q₀/2^t. Se pide que q_t=q₀/2 por tanto, q₀/2=q₀/2^t=>(1/2)=(1/2^t)=>t=1 generación.
Para que se reduzca en 1/16 tendríamos que 1/16=(1/2^t)=>2^t=16=>t=4 generaciones. Puedes comprobarlo simulando una población con 10⁴ individuos, frecuencia inicial 0.8, s=1, h=0.5, durante 4 generaciones.

Ejercicio 2

En una población en que la deriva es despreciable y en ausencia de mutación ¿cuántas generaciones hacen falta para que un alelo letal recesivo reduzca su frecuencia a la mitad? Da el número de generaciones en función de la frecuencia inicial. Comprueba los resultados con alguna simulación.

 

Por ser letal el coeficiente de selección es s=1 y como es recesivo h=0. Por la Tabla 1 sabemos que q_t=q₀/(1+tq₀). Se pide que q₀/2=q₀/(1+tq₀)=>t=1/q₀. Es decir, el tiempo que tarda en reducir un letal recesivo su frecuencia a la mitad es inversamente proporcional a la frecuencia inicial, se reducirá más rápido cuanto más alta sea su frecuencia. Puedes comprobarlo simulando una población con 10⁴ individuos, s=1, h=0 y probando distintos casos, por ejemplo, 10 generaciones con q₀=0.8, q₀=0.5 y q₀=0.4.

Ejercicio 3

Para estudiar el cambio en frecuencia alélica causado por la selección en una generación, simulamos en 100 poblaciones de censo 10⁴ y sin mutación, un alelo deletéreo con coeficiente de selección de 0.5. La frecuencia inicial del alelo mutante q₀ era 0.5 y la frecuencia obtenida tras una generación fue de 3/7. ¿Cuál es el coeficiente de dominancia? PISTA: Utiliza la fórmula de q' en la Figura 4.

 

La frecuencia tras la selección q' es igual a [pq(1-sh)+q²(1-s)]/W. Con los valores dados en el problema calculamos primero W según la fórmula indicada en la Figura 4 para obtener W=(7-2h)/8. Y a continuación calculamos el numerador obteniendo (3-h)/8 por tanto q'=3/7=(3-h)/(7-2h)=>h=0.